1. 由强大数定律和更新过程强大数定律, 有

2. 注意到 $N(t) + 1$ 关于 $\Bqty{X_n, n \ge 1}$ 和 $\Bqty{R_n, n \ge 1}$ 都是停时, 于是有

令 $g(t) = E\pqty{R_{N(t) + 1}}$, 则有

于是 $g(t)$ 满足如下更新方程

其中 $h(t) = \dint_t^{+\infty} E(R_1 \mid X_1 = x) \dd{F(x)}$.

则 $\forall t \ge 0$, 有

于是 $\liml_{t \to \infty} h(t) \to 0$, 且 $\forall t \ge 0: h(t) \le E(R_1)$,

于是 $\forall \ve > 0, \exist T$, 当 $t > T$ 时 $\vqty{h(t)} < \ve$.

于是由定理 2.11.1, 有

利用基本更新定理和前述结论, 有

于是

证毕.